大學(xué)微積分

大學(xué)微積分轉(zhuǎn)化是Mathematica最初的成就之一。但直到現(xiàn)在，我們?nèi)栽诶^續(xù)增加新功能，將微積分變得更加簡單，也能更快地連接到其他應(yīng)用。我們一直有D函數(shù)，可以在某處求導(dǎo)。在13.1版本，我們增加了ImplicitD，可以進(jìn)行隱函數(shù)求導(dǎo)。

例如，它可以求xy關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，其中y由約束條件x2 + y2 =1的隱式?jīng)Q定：

省略第一個參數(shù)，會得到標(biāo)準(zhǔn)大學(xué)微積分“求曲線切線的斜率”：

到目前為止，以上所有都是對長期存在的微積分功能簡單直接的重新整理。確實，這些隱函數(shù)求導(dǎo)功能在Wolfram|Alpha中已經(jīng)存在很長時間了。但是對于Mathematica和Wolfram語言來說，我們希望每個功能都能盡可能普遍，也是為支持出現(xiàn)在微分幾何中的內(nèi)容以及微分方程隱式解的漸進(jìn)和驗證。除了常規(guī)的大學(xué)微積分之外，ImplicitD也可以做其他事情，比如，在由兩個曲面的焦點定義的曲線上，求二階隱式的導(dǎo)數(shù)：

在Mathematica和Wolfram語言中，Integrate函數(shù)可以給你答案。(在Wolfram|Alpha中也可以得到分步計算過程。)但出于課程目的——或有時突破可能界限時——分步求解積分是非常有用的。所以在13.1版本中，我們添加了IntegrateChangeVariables函數(shù)，用于改變積分中的變量。有個直接的問題：如果用Integrate[...]函數(shù)指定積分，Integrate會繼續(xù)進(jìn)程計算該積分：

但是如果要用IntegrateChangeVariables，則需要一個“未完成”的積分?？梢酝ㄟ^使用Inactive達(dá)到這一目的，例如：

基于這一未轉(zhuǎn)換形式，可以使用IntegrateChangeVariables進(jìn)行“三角代換”：

結(jié)果又是未轉(zhuǎn)換的形式，但以不同的方式闡述積分。Active繼續(xù)進(jìn)行，并計算積分：

IntegrateChangeVariables可以處理多重積分——但要與命名的坐標(biāo)系相結(jié)合。以下是將雙重積分轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)：

盡管積分變量的基本“結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)換非常直接，但I(xiàn)ntegrateChangeVariables相關(guān)的內(nèi)容還是非常復(fù)雜的。大學(xué)微積分變量的改變常常經(jīng)過精心編排，從而更容易算出來。在常規(guī)情況下，IntegrateChangeVariables最終要對幾何區(qū)域進(jìn)行重要轉(zhuǎn)換，在某些約束條件下難以簡化被積函數(shù)等等。

除了在積分中改變變量，13.1版本還引進(jìn)了DSolveChangeVariables，用于改變微分方程中的變量。以下是將拉普拉斯方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)的過程：

有時改變變量非常簡便。但有時(比如廣義相對論)可能導(dǎo)出完全不同的系統(tǒng)視圖。比如，以下是指數(shù)變換將普通的柯西-歐拉方程轉(zhuǎn)換為有常數(shù)系數(shù)的形式：

分?jǐn)?shù)階微分

x2的一階導(dǎo)數(shù)是2x;二階導(dǎo)數(shù)是2。那么二分之一階導(dǎo)數(shù)是多少?即使在微積分出現(xiàn)的最初幾年，這一問題也經(jīng)常被問到(例如萊布尼茨)。到19世紀(jì)，黎曼和劉維爾給出了答案，在13.1版本中，也可以用新函數(shù)FractionalD來計算：

計算另一個二分之一階導(dǎo)數(shù)，會回到一階導(dǎo)數(shù)：

在更普遍的情況下，有：

對于負(fù)階導(dǎo)數(shù)也可用，所以，例如，-1階導(dǎo)數(shù)是它的不定積分：

計算分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與計算分?jǐn)?shù)階微分一樣困難。但是FractionalD依然可以做到

即使結(jié)果可能會變得非常復(fù)雜：

為什么FractionalD是一個單獨的函數(shù)，而不是D函數(shù)的衍生部分?我們討論過很多次這個問題。我們引入明確的函數(shù)FractionalD是因為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)沒有一個明確的定義。事實上，在13.1版本中，我們也支持卡普托分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)(或差分積分)CaputoD。

對于x2的二分之一階導(dǎo)數(shù)，答案還是一樣：

但只要函數(shù)在x =0處不為0，答案可能會有所不同：

在處理拉普拉斯變換和微分方程時，CaputoD是分?jǐn)?shù)階微分非常方便的方法。在13.1版本中，我們可以計算CaputoD，也能進(jìn)行積分變換并求解涉及它的方程。

以下是二分之一階微分方程

以下是二分之三階微分方程

以及π階微分方程：

注意MittagLefflerE。這一函數(shù)(出現(xiàn)于9.0版本)對于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)起的作用與Exp對于普通導(dǎo)數(shù)的作用一樣。

審核編輯：湯梓紅